長期的な収束
平均が−2.70%に落ち着いていく仕組みと、それが直感よりも時間のかかる理由。
1スピンあたりの平均損失は、スピンが積み重なるにつれて−1/37に収束し、そのばらつきは1/√Nのように縮みます。赤に1,000スピン賭けた時点で、平均は通常、期待値の±3%以内に収まります。
大数の法則
独立したベットの累積平均は、期待値数学期待値長期的に見た、ベットあたりの平均結果。ヨーロピアンルーレットの標準的なベットはどれも、賭け金に対して−1/37。全文を読む →に近づきます。1ユニットお金ユニットシステムやプレイヤーが基準にする基本の賭け金。プログレッションはユニットで記述されるので、どのテーブルにも当てはまる。全文を読む →のイーブンマネーをN回スピンしたとき、1スピンあたりの平均結果は、期待値が−1/37、標準偏差数学標準偏差分散の平方根。結果が期待値から離れる典型的な幅。全文を読む →が1/√Nです。N = 100ではそのばらつきは賭け金の10%で、2.7%のシグナルの4倍近くになります。N = 1,000では3.2%で、シグナルとほぼ同じです。N = 10,000では1%になり、エッジがはっきり見えます。エッジは1回のセッションでは見えず、1年では疑いようがありません。
収束するものと収束しないもの
1スピンあたりの平均は収束します。合計は収束しません。Nが大きくなるにつれて、期待値としてはNの約2.7%ずつゼロから遠ざかり、そのまわりに√Nのばらつきがあります。$10で10,000スピンしたプレイヤーは、$1,000前後の幅を持って、$2,700のマイナスになると見込まれます。赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →が出た累積の割合は、とうに48.65%付近に落ち着いていますが、残高の推移はどこにも落ち着いていません。
- p10 −$440
- p25 −$280
- 中央値 −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
直感が外れる理由
2.70%は大きく聞こえるので、人はエッジがすぐに現れると思います。また大数の法則数学大数の法則独立した結果の平均は、試行回数が増えるにつれて期待値に収束する。全文を読む →が平均は収束すると言っているので、長く続ければ「帳尻が合う」とも思います。どちらの直感も規模を読み違えています。エッジは1回のスピンの分散数学分散結果が期待値のまわりにどれだけ広く散らばるかを示す尺度。ストレートアップでは高く、イーブンマネーベットでは低い。全文を読む →に比べて小さく（σ = 1ユニットに対してEV = 0.027）、1シグマの大きさで見えるようになるには(1/0.027)² ≈ 1,400スピンかかります。そして、平均が収束しても合計が引き戻されることはなく、過去の変動が薄まるだけです。
ほかのベットの収束
ストレートアップベットストレートアップ単一の数字。配当は35:1。全文を読む →ではσ = 5.84なので、同じ計算でエッジが1シグマに達するには(5.84/0.027)² ≈ 47,000スピンかかります。ストレートアップのプレイヤーは、何年プレイしても、自分の記録からはエッジを運と区別できないかもしれません。その間も、数週間でそれが見える赤のプレイヤーとまったく同じ2.70%を支払っています。
システムの検証への含意
あるシステムが通用すると主張する人は、10,000スピン以上にわたって、プラスの平均を示す記録を出せるはずです。1,000スピンでイーブンマネーの平均がプラスになるのは、帰無仮説のもとで5回に1回起こる出来事です。100スピンなら、ほぼコイン投げと変わりません。このサイトのシミュレーターは、選んだ長さのセッションを2,000本、1秒で回します。これはどんな体験談よりも多くの証拠になります。
数式
よくある質問
プレイを続けるほど、再びプラスになる確率数学確率ある結果の起こりやすさ。0から1、または0%から100%で表す。単一の数字の場合：1/37 = 2.70%。全文を読む →はゼロに近づきます。合計は、限りなく下がり続けます。
いいえ。過去の変動が、大きくなったサンプルの中で小さな割合になるということです。
イーブンマネーでは、エッジがはっきり見えるまでに約10,000スピンです。ストレートアップでは約50,000スピンです。
数学で頭の体操
まずは自分で解いてみてください。解答は折りたたんであるので、準備ができたら開いてください。
ふたりの友人が公正なゲーム数学公正なゲームどちらの側にも有利さがないゲーム。どのベットも期待値がゼロ全文を読む →を20ラウンド行い、累計スコアをつけます。コイン投げでも、ゼロホイールゼロイーブンマネーベット、ダズン、コラムのどれもカバーしない唯一の緑のポケット。ハウスエッジの源。別名：シングルゼロ、0。全文を読む →が出たら賭け金が戻る赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →対黒ベット黒18個の黒の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ノワール（noir）。全文を読む →でもかまいません。それぞれがリードしていたラウンドを数えます（同点は、直前にリードしていたほうに数えます）。リードを10ラウンド対10ラウンドで分け合うことと、一方が20ラウンドすべてリードすることでは、どちらが起こりやすいでしょうか？
解答を見る
答え 一方が20ラウンドすべてリードするほうが、はるかに起こりやすいのです。どちらの友人でもよいとして35.2%で、10対10で均等になるのは6.1%です。
公正な累計スコアが2kラウンド後に同点である確率はu = C(2k, k)/2²ᵏで、10ラウンド後は0.246、20ラウンド後は0.176です。逆正弦法則と呼ばれる古典的な結果によれば、名指しした1人が2nラウンドのうちちょうど2kラウンドでリードする確率はu(2k) × u(2n − 2k)です。
20ラウンドすべてリードする確率は、u(20) × u(0) = 各友人について0.176、どちらかなら35.2%です。均等に分け合う確率は、u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%で、あらゆる分け方の中で最も起こりにくいのです。
つまり公正なゲームでは、リードが入れ替わることはめったにありません。一晩じゅうリードしていた、あるいは一晩じゅうリードされていたプレイヤーは、何も珍しいものを見たわけではなく、それはホイールについても腕前についても何も語りません。エプスタイン（2013年）は、もっと長いゲームについて同じ法則を示しています。半分の確率で、運のよいほうがプレイの85%以上でリードするのです。
ひと息コミック
平均は収束します。合計は、ただ離れていきます。
出典
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.