連続の確率
同じ色が長く続くことは、珍しくありません。そして、次のスピンにとっては何の意味もありません。
赤が5連続する確率は2.7%、10連続は0.074%です。200スピンのセッションでは、同じ色の6連続が、出ないより出るほうが多くなります。
連敗が起こる頻度
シングルゼロのホイールでは、イーブンマネーベットは37スピン中19スピンで負けます。各行は、ある連続したスピンがすべて負けになる確率と、負けるたびに賭け金を倍にするマーチンゲール法のプレイヤーがその時点までに失った額を示します。
| 連敗数 | 確率 | 約何回に1回 | ここまでの損失 | 次のベット |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
確率は19/37を負けの回数だけ掛け合わせたもので、ある特定のスピンを起点に数えた値です。長いセッションには、こうした連敗の起点になりうるスピンが数多くあります。そのため、一晩を通して見ると、表の各行が示す値よりはるかに起こりやすくなります。
1回の連続
次のk回のスピンがすべて赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →になる確率数学確率ある結果の起こりやすさ。0から1、または0%から100%で表す。単一の数字の場合：1/37 = 2.70%。全文を読む →は、(18/37)ᵏです。2回は23.7%、5回は2.7%、10回は0.074%で、約1,350分の1です。20回は180万分の1。モンテカルロの記録である26回は、1億3700万分の1です。これらは、特定のスピンから特定の連続が始まる確率であり、実際には、ほとんど誰も知りたがらない問いへの答えです。
セッションの中では
人々が本当に知りたいのは、「自分のセッションのどこかでk連続が現れるか」という問いで、その答えは(18/37)ᵏよりはるかに大きくなります。200スピンのセッションには、連続が始まりうる場所が200近くあるからです。同じ色、つまり赤か黒ベット黒18個の黒の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ノワール（noir）。全文を読む →の6連続以上は、200スピンのセッションでおよそ94%の確率で現れます。8連続以上は約47%、10連続以上は約14%です。色を前もって決めておくと確率は下がり、それぞれ約75%、27%、7%になります。1晩座っていれば、毎晩のように長い連続を目にします。
マーチンゲール法に関わる理由
ネガティブなプログレッション戦略プログレッション直前までの結果に応じて賭け金を変えるルール全般。ネガティブプログレッションは負けた後に、ポジティブプログレッションは勝った後に賭け金を上げる。全文を読む →には、それを破綻させる連続の長さがあります。基本額$10でリミット$500なら6連敗、フィボナッチ法戦略フィボナッチ法1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…の数列に従うプログレッション。負けたら1つ進み、勝ったら2つ戻る。全文を読む →なら10連敗、ダズンベットダズン1〜12、13〜24、25〜36のいずれか。配当は2:1。全文を読む →への3倍賭けなら5連敗です。イーブンマネーで6連敗する確率は、1回の挑戦あたり(19/37)⁶ ≈ 1.8%です。200スピンのセッションには挑戦がおよそ100回あるため、その長さのセッション5回のうち4回ほどで破綻が訪れます。連続の確率こそ、この崖が珍しくない理由です。
ホットナンバーとコールドナンバー
同じ計算がストレートアップベットストレートアップ単一の数字。配当は35:1。全文を読む →にも当てはまります。300スピンでは、数字1つあたりの期待回数は8.1回で、標準偏差数学標準偏差分散の平方根。結果が期待値から離れる典型的な幅。全文を読む →は約2.8です。偶然だけで、15回出る数字も2回しか出ない数字も、毎回必ず現れます。結果ボードが「ホット」な数字を強調するのは、正規分布の上の端を強調しているにすぎません。ホットナンバー俗説ホットナンバー最近、期待より多く出ている数字。公正なホイールでは何も予測しない。全文を読む →が意味を持つまでに何スピンかかるかは、ラボで説明しています（特定した1つのホイールで数千スピンです）。
独立性がすべての要点
赤が10連続しても、黒が出やすくなることはなく、赤が出やすくなることもありません。どちらも18/37です。連続はランダムな並びの性質で、むしろ連続がないほうが怪しく見えます。200スピンで4連続を超える連続が1つもない並びは、12連続を含む並びよりも、はるかに強い不正の証拠になります。
数式
よくある質問
有名なのは、1913年8月18日にモンテカルロで黒が26回続いたものです。1943年にアメリカのカジノで赤32連続が報告されました。カジノが回すスピンの膨大な数を考えれば、どちらも偶然と矛盾しません。
どちらでも18/37です。計画どおりに賭けるか、賭けないかです。
いいえ。偏りは、色の連続ではなく、数千スピンにわたって特定のポケット用具ポケットローター上にある、番号の付いた37個の区画のそれぞれ。別名：スロット、カップ。全文を読む →が多く出ることとして現れます。
数学で頭の体操
まずは自分で解いてみてください。解答は折りたたんであるので、準備ができたら開いてください。
ヨーロピアンのホイールで、37個の数字すべてが少なくとも1回ずつ出るまでに、平均して何スピンかかるでしょうか？
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答え 平均で約155スピンです。中央値は147です。
新しい数字が1つ出るまでの待ち時間を、1つずつ数えます。最初のスピンでは必ず新しい数字が出ます。1つの数字を見たあとは、37個中36個のポケット用具ポケットローター上にある、番号の付いた37個の区画のそれぞれ。別名：スロット、カップ。全文を読む →が新しいので、次の新しい数字までは平均37/36スピンです。k個の数字を見たあとは、37/(37 − k)スピンです。
待ち時間を足し合わせます。37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5スピンです。
その大部分は最後の部分です。最後の1つの数字だけで平均37スピン、最後の5つで約85スピンかかります。アメリカンのホイールでは、同じ計算で約161になります。これはクーポンコレクター問題で、Wizard of Oddsも同じ平均を示しています。
ヨーロピアンのホイールを37スピン、つまりポケット1つにつき1スピン回すと、異なる数字はいくつ出ると期待できるでしょうか？
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答え 約23.6個です。数字のおよそ3分の1、約13個は1回も出ません。
1つの数字、たとえば17を考えます。各スピンで17が出ない確率は36/37なので、37スピンすべてで出ない確率は(36/37)³⁷ ≈ 0.363です。
どの数字も同じ確率なので、平均すると37 × 0.363 ≈ 13.4個の数字が出ず、37 − 13.4 ≈ 23.6個が出ます。その多くは2回以上出ます。
ルーレットのプレイヤーはこれを「3分の1の法則」と呼びます。法則ではなく、重複の算数にすぎません。ホイールのポケット数と同じ長さの連続では、数字の約3分の1が出ずに終わります。公正なホイールでも、ほかのどのホイールでも同じです。ポケットが38個でも割合は(37/38)³⁸ ≈ 0.363で、大きなホイールでは1/e ≈ 0.368に近づきます。
友人が、赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →か黒ベット黒18個の黒の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ノワール（noir）。全文を読む →の50個の色のリストを2つ見せます。どちらもゼロホイールゼロイーブンマネーベット、ダズン、コラムのどれもカバーしない唯一の緑のポケット。ハウスエッジの源。別名：シングルゼロ、0。全文を読む →を除いたホイールから取ったものだそうです。一方は色が25回切り替わり、最長の連続は6です。もう一方は35回切り替わり、3より長く続くことがありません。作り話なのはどちらですか？
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答え 2つ目です。本物のリストは24〜25回ほど切り替わります。35回切り替わるリストは500個に1個ほど、3より長い連続がないリストは100個に2個ほどしか現れません。
新しい色は、直前の色を繰り返すか切り替わるかが半々なので、切り替わる機会が49回あれば、平均24.5回切り替わり、前後に3.5ほどばらつきます。35はその平均より3段階分上で、公正なホイールでそれだけ切り替わるのは、500個のリストに1個ほどです。
連続も同じことを語ります。本物の50個のリストには約98%の確率で4以上の連続があり、最長の連続は5か6であることが最も多いのです。
ランダムなリストを作るよう頼まれた人は、切り替えすぎます。4や5の連続がパターンのように見えるからです。テイラー（2021年）は、学生が作ったコイン投げのリストに同じ手がかりがあることを示しています。本物のランダムさは、人が思うより連続が多いのです。
カジノの逸話を集めたある本に、自分の数字が5回続けて出たプレイヤーの話があり、それを記録だとしています。ヨーロピアンのホイールで、これはどれほど珍しいことでしょうか？また、20台のテーブルがそれぞれ1時間に40スピンを昼も夜も回すカジノ1軒の中のどこかでは、どのくらいの頻度で起こるはずでしょうか？
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答え あらかじめ決めた数字が5回続けて出る確率は6900万分の1。どの数字であれ、最初に出たあとさらに4回続けて出る確率は187万分の1です。そのカジノは年に約700万回スピンするので、5連続は年に3〜4回見られるはずです。
決めた数字は各スピンで1/37の確率で出るので、5回続けて出る確率は(1/37)⁵ = 69,343,957分の1です。しかし、前もって数字を決める人はいません。最初に何が出ても、続く4スピンがそれを繰り返せばよいので、(1/37)⁴ = 1,874,161分の1です。
20テーブル × 40スピン × 24時間 × 365日 = 年に7,008,000スピン。どのスピンも連続の始まりになりうるので、このカジノで期待される5連続は年に7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7回です。
この種の公式記録は存在せず、必要でもありません。1台のテーブルでは珍しい出来事も、カジノ全体ではありふれた出来事であり、逸話は、それが起きたテーブルについて語られるのです。この話はゴールドマン（2007年）にあり、舞台はダブルゼロのホイールで、そこでの数値は7900万分の1と209万分の1です。
ひと息コミック
長い連続は、ランダムの本来の姿です。
出典
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.