問題：テーブルリミット
リミット$500のテーブルで、基本額$10のマーチンゲール法を使います。どのくらいの頻度で破綻し、破綻したらいくら失い、リミットを上げれば助けになるでしょうか。
6連敗すると破綻します。1サイクルあたり1.8%で、100スピンのセッションの約60%に当たります。破綻の損失は$630です。リミットを$5,000に上げると、破綻は起こりにくくなり（1サイクルあたり0.25%）、損失は大きくなります（$5,110）。総賭け金$1あたりの期待損失は、どのリミットでも2.70%です。
問題
あるプレイヤーが赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →に$10を賭け、負けるたびに倍にし、勝ったら元に戻します。テーブルの最大賭け金は$500です。(a) 何連敗するとプログレッション戦略プログレッション直前までの結果に応じて賭け金を変えるルール全般。ネガティブプログレッションは負けた後に、ポジティブプログレッションは勝った後に賭け金を上げる。全文を読む →が破綻しますか。(b) 1サイクルあたりの確率数学確率ある結果の起こりやすさ。0から1、または0%から100%で表す。単一の数字の場合：1/37 = 2.70%。全文を読む →はいくつですか。(c) 破綻時にいくら失いますか。(d) リミットが$5,000なら、答えはどう変わりますか。(e) リミットを変えれば、このシステムは利益が出るようになりますか。
解答(a)〜(c)
賭け金：10、20、40、80、160、320。7回目は640で、500を超えるため、6連敗で破綻します。(b) 赤で外れる確率は19/37なので、(19/37)⁶ = 0.0183、つまり1サイクルあたり約1.8%です。1サイクルは平均でおよそ2スピンなので、100スピンのセッションには約50サイクルあり、p(少なくとも1回破綻) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%になります。(c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630で、これは基本額63ユニットお金ユニットシステムやプレイヤーが基準にする基本の賭け金。プログレッションはユニットで記述されるので、どのテーブルにも当てはまる。全文を読む →にあたります。そのサイクルが狙っていたのは$10でした。
解答(d)
$5,000の場合、2,560までの賭け金は許されますが、10回目の賭け金5,120は断られます。9連敗で破綻し、(19/37)⁹ ≈ 1サイクルあたり0.25%、100スピンのセッションの約11%に当たります。破綻時の損失は、10 + 20 + … + 2,560 = $5,110です。プレイヤーは、より起こりにくい大惨事を、より大きな大惨事と引き換えに手に入れたことになります。多くのセッションを通して、破綻の期待コストは、確率 × 損失で、リミット$500では 0.0183 × 630 = 1サイクルあたり$11.5、$5,000では 0.0025 × 5,110 = $12.8です。丸めの範囲でほぼ同じ数字で、それはそのサイクルの期待損失数学期待損失期待値に総賭け金を掛けたもの。セッションまたは一定期間に失う平均額。全文を読む →から、勝ったサイクルが稼ぐ$10を引いたものです。
解答(e)
いいえ。1サイクルあたりの期待損失 = (サイクルでの賭け金の総額の期待値) / 37で、リミットがいくつでも変わりません。どのベットもそれ自体の−1/37だからです。リミットが決めるのは、損失が小さな勝ちの多数と大きな負けの少数とに、どう分かれるかだけです。リミットがなくバンクロールお金バンクロールプレイ用に取り分けた資金の総額。バンクロール管理とは、そのうちどれだけを1ベットごと、1セッションごとにリスクにさらすかを決めること。全文を読む →が無限にあれば、このプログレッションは決して破綻しないという意味で「うまくいく」でしょうが、その場合は無限に大きな額を賭けることになり、期待損失はその額の2.70%です。マーチンゲール法戦略マーチンゲール法負けるたびにベットを倍にするプログレッション。何ができて何ができないかは「戦略」セクションを参照。全文を読む →を成り立たなくしているのは、テーブルリミットテーブルテーブルリミット許される最小賭け金と最大賭け金。倍賭けのプログレッションを止めるのは最大賭け金。全文を読む →ではありません。計算です。
2つの実在のテーブル
ソープの例は、最小$1、最大$1,000のテーブルで、プレイヤーが夕食代の$30を$1ずつ勝ち取ろうとするものです。賭け金1、2、4…512で10回賭けられるので、10連敗でプログレッションは破綻します。ヨーロピアンのホイールでは785サイクルに1回（アメリカンでは613サイクルに1回）で、損失は$1,023です。30サイクルがすべて成功するのは96.2%の確率です。残りの3.8%では約$1,000を失い、その夜の平均結果は−$9.17です。これは、30サイクルで平均して賭けられる$339のちょうど1/37です。最小$5、最大$2,000のテーブルでも変わりません。$1,280までの賭け金で9回賭けられ、破綻はヨーロピアンのホイールでは403サイクルに1回（アメリカンでは323サイクルに1回）起こり、損失は$2,555です。
裕福なプレイヤー
低いリミットの代わりに、深いバンクロールをプログレッションに与えてみます。1,000ユニット、基本額1ユニットで赤に1,000スピン賭け、次の倍額が残りの額を超えるときは1ユニットからやり直します。そのような夜を100万回シミュレーションしました。ヨーロピアンのホイールでは52%が勝ち越して終わり、21%がすべてを失い、平均結果は−124ユニットです。ゼロホイールゼロイーブンマネーベット、ダズン、コラムのどれもカバーしない唯一の緑のポケット。ハウスエッジの源。別名：シングルゼロ、0。全文を読む →がなく、どのベットも公正なゲームでも、勝ち越して終わるのは約60%にとどまります。よくある夜は小さな勝ちで、平均を支払っているのは、残高がゼロで終わる夜です。
ここからわかること
カジノがリミットを設けるのは、自分たちの分散数学分散結果が期待値のまわりにどれだけ広く散らばるかを示す尺度。ストレートアップでは高く、イーブンマネーベットでは低い。全文を読む →に上限をつけるためで、システムを退けるためではありません。マーチンゲール法が通用しなくなるのは副産物で、カジノはそれを歓迎していますが、計算だけでも通用しなくなります。リミットが問題だと考える人は、崖を見つけながら、それを坂と取り違えています。
数式
よくある質問
より高いリミットまで持ちこたえられますが、そこでは破綻が起こりにくくなる代わりに、損失は大きくなります。$1あたりの期待損失は変わりません。
賭け金は10、30、70、150、310で、5連敗で$500のリミットに達し、破綻の損失は$570です。やはり2.70%です。
1人のプレイヤーが、カジノの準備金で無理なく支払える額より多く賭けられないようにするためです。分散の管理です。
数学で頭の体操
まずは自分で解いてみてください。解答は折りたたんであるので、準備ができたら開いてください。
マーチンゲール法戦略マーチンゲール法負けるたびにベットを倍にするプログレッション。何ができて何ができないかは「戦略」セクションを参照。全文を読む →を赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →への$100から始め、1サイクルにつき最大n回までベットします。n回続けて負けたら諦めて最初からやり直します。1サイクルの平均結果をnの式で表し、ヨーロピアンのホイールで5回、6回、7回の場合を計算してください。
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答え 平均は100 × (1 − (38/37)ⁿ)です。5回なら−$14.26、6回なら−$17.35、7回なら−$20.52です。ベットできる回数を増やすと、1サイクルの平均は良くなるどころか悪くなります。
n回のベットがすべて負けない限り、サイクルは$100を得ます。すべて負ける確率はqⁿで、q = 19/37です。すべて負けたときの賭け金100、200…100 × 2ⁿ⁻¹を合計すると100 × (2ⁿ − 1)になります。したがって平均は100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)です。
ここで2q = 38/37は1より少し大きいので、(2q)ⁿはnとともに大きくなり、平均は下がります。n = 5なら1.1426で−$14.26、n = 6なら1.1735で−$17.35、n = 7なら1.2052で−$20.52です。長いはしごほど負ける頻度は少なく、サイクルの3.6%、1.8%、0.9%ですが、1回の負けの額は倍になり、1サイクルごとにテーブルを行き来するお金も増え、そのすべてのベットに2.70%がかかります。
アメリカンのホイールでは2q = 40/38で、数値は−$29.24、−$36.04、−$43.20です（テイラー、2021年）。ゼロホイールゼロイーブンマネーベット、ダズン、コラムのどれもカバーしない唯一の緑のポケット。ハウスエッジの源。別名：シングルゼロ、0。全文を読む →のないゲームでは2q = 1で、はしごがどれだけ長くても、どのサイクルも平均はちょうどゼロです。
「グランドマーチンゲール」は、負けたら賭け金を倍にして1ユニットお金ユニットシステムやプレイヤーが基準にする基本の賭け金。プログレッションはユニットで記述されるので、どのテーブルにも当てはまる。全文を読む →を加えるので、賭け金は1、3、7、15、31…と進みます。最初の勝ちが1回目、2回目、3回目、k回目のベットで来たとき、いくら勝ち越していますか？ 1ユニット$10、最大賭け金$500のとき、サイクルが破綻する頻度はどれくらいで、1サイクルの平均コストはいくらですか？
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答え k回目のベットで勝つと、kユニットの勝ち越しです。+1、+2、+3というように増えます。$10と$500では、5連敗でサイクルが破綻し、それはサイクルの3.57%で、−$570です。平均すると、1サイクルは賭けた$85.73のうち$2.32を失います。2.70%です。
k回目の賭け金は2ᵏ − 1ユニットで、1、3、7、15、31です。最初のk − 1回の賭け金を合計すると2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1です。k回目のベットで勝つと2ᵏ − 1が支払われるので、サイクルは(2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = kユニットの勝ち越しで終わります。勝つ前の負け1回につき1ユニットが上乗せされるわけです。
1ユニット$10なら、賭け金は$10、$30、$70、$150、$310です。次の$630は最大賭け金$500を超えます。5連敗は(19/37)⁵ = 3.57%で、10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570のコストです。
平均：k = 1〜5について、勝ちは確率(19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37で$10 × kをもたらし、破綻は確率3.57%で$570を奪います。合わせて−$2.32です。賭けたお金は1サイクル平均$85.73で、2.32/85.73 = 2.70%です。同じテーブルでの通常のマーチンゲール法は6連敗で破綻し、それはサイクルの1.83%で−$630、賭けた$64.20のうち$1.74を失います。これも2.70%です。
あるプレイヤーが、テーブルリミットが$1,000のテーブルで、最初のベットを$1として赤にマーチンゲール法を使うつもりです。可能なベットは$1、$2、$4…と続いて$512までの10回です。1サイクルで10回すべて負けるのはどれくらいの頻度で、平均するとそれまでにどれくらいかかるでしょうか？ 200ベットの夜がそうして終わるのは、どれくらいの頻度でしょうか？
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答え 1サイクルで10回すべて負けるのは約784回に1回で、損失は$1,023です。平均すると約1,600ベットに1回で、200ベットの夜がこの壁にぶつかるのは約11%です。それでも1サイクルは、賭けた$11.31に対して平均$0.31を失います。2.70%です。
赤へのベットは、ゼロを含めて19/37の確率で外れます。10回続けて外れる確率は(19/37)¹⁰ ≈ 0.00128、約784分の1です。賭け金1 + 2 + 4 + … + 512の合計は$1,023です。
1サイクルは平均2.05ベットなので、784サイクルは約1,600ベットになります。スピンごとに数えると、10連敗が200ベットのどこかに現れるのは11.3%です。
大負けと大負けの間、プレイヤーは1サイクルにつき$1を勝ちます。悪いサイクルが来るまでに約$783、そこで−$1,023、通して約−$240です。1サイクルあたりでは、1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31。1サイクルあたりの賭け金は、1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31。そして−0.31/11.31 = −2.70%です。
最初のベット$10、リミット$500で6回の場合と比べてみてください。壁は55サイクルに1回来て、200ベットの夜がそれにぶつかるのは84%です。リミットが高いほど、破綻はまれに、大きくなりますが、安くはなりません。
ひと息コミック
どのリミットでも、起こりにくく、そして大きくなる。その積は一定です。
出典
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.