ケリー基準とルーレット

ケリー基準とは

ジョン・ケリー（1956年）は、エッジが分かっているギャンブラーが、バンクロールお金バンクロールプレイ用に取り分けた資金の総額。バンクロール管理とは、そのうちどれだけを1ベットごと、1セッションごとにリスクにさらすかを決めること。全文を読む →の長期的な成長を最大にするには、賭け金をどう決めればよいかを問いました。b対1の配当で、当たる確率数学確率ある結果の起こりやすさ。0から1、または0%から100%で表す。単一の数字の場合：1/37 = 2.70%。全文を読む →がp、外れる確率がq = 1 − pのベットでは、答えはバンクロールのうち f* = (bp − q) / b の割合を賭けることです。f*が正ならその割合を賭け、ゼロまたは負なら賭けません。ケリーはベル研究所に勤めており、その論文「A new interpretation of information rate」（情報伝達速度の新しい解釈）は、この問題をクロード・シャノン（Claude Shannon）の情報理論の中に置きました。雑音のある回線で予想を受け取るギャンブラーは、公正なオッズのもとでは、その回線が運ぶ情報の速さまでしかバンクロールを成長させられない、というものです。1961年にはレオ・ブレイマン（Leo Breiman）が、ケリー基準に従う賭け方は長期的に、本質的に異なるどの戦略よりも多くを残し、決めた目標にもほぼ最短の時間で届くことを証明しました。

ルーレットに当てはめると

赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →の場合：b = 1、p = 18/37、q = 19/37なので、f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37です。ストレートアップベットストレートアップ単一の数字。配当は35:1。全文を読む →の場合：b = 35、p = 1/37、q = 36/37なので、f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295です。標準のベットはどれもエッジがマイナスなので、ケリー分率も必ずマイナスになり、成長を最大にする賭け金はゼロです。ケリー基準は、ハウスエッジのページが述べていることを形式的に言い直したものです。期待値がマイナスのベットで、バンクロールが増えるような賭け金の大きさは存在しません。

ケリー基準が当てはまった場面

偏りを突くプレイヤーには、エッジがあり、賭け金の決め方という問題がありました。ジョセフ・ジャガー（Joseph Jagger）、ガルシア・ペラヨ家（García-Pelayo）、ユーダイモンズ（Eudaemons）は、いずれも測定したアドバンテージに対していくら賭けるかを決める必要がありました。賭けが少なすぎるとエッジを無駄にし、多すぎるとエッジが現れる前に破産する危険があります。1/30の確率で当たるポケット用具ポケットローター上にある、番号の付いた37個の区画のそれぞれ。別名：スロット、カップ。全文を読む →の場合、ケリー基準では、その数字に1スピンあたりバンクロールの0.57%を賭けることになります。$10,000なら1スピンあたり約$57で、典型的な成長は1スピンあたり約0.054%、1,000スピンで×1.7です。平均的な増え方はその2倍の1スピンあたり0.11%ですが、ケリー基準が目指すのは平均的なバンクロールではなく典型的なバンクロールです。平均は、少数の幸運な展開によって押し上げられるからです。エッジの推定には不確かさがあるため、実際にはハーフケリーを選ぶのが普通です。

有名なルーレットプレイヤーユーダイモンズ

典型的な値と平均

典型的なバンクロールと平均的なバンクロールの差は大きく開きます。25回に1回当たるポケット、つまりエッジ44%のポケットを考えます。ソープが自分の装置について示した数字です。ケリー基準では、そこにバンクロールの1.26%を賭けます。1,000スピン後、典型的なバンクロールは約11.5倍に増えますが、平均は、ごく少数の非常に幸運な展開に引き上げられて約249倍になります。ケリー基準より多く賭けると、平均は上がり、典型的な結果は下がります。ケリー基準の2倍の賭け金では典型的なバンクロールは2倍になるだけで、ケリー基準の2.5倍になると、どのベットにも44%のエッジがあるのにバンクロールは減っていきます。少なく賭けても失うものはわずかです。賭け金を半分にしても、成長の約4分の3が残ります。

エッジが推測にすぎないとき

ケリー基準は、エッジが分かっていることを前提にしています。テーブルでは、エッジは推定するしかなく、その推定はたいてい高すぎます。エプスタイン（Epstein）の例は、ソープの44%をもとにしたもので、ダブルゼロホイールゼロイーブンマネーベット、ダズン、コラムのどれもカバーしない唯一の緑のポケット。ハウスエッジの源。別名：シングルゼロ、0。全文を読む →のホイールで1,225スピン中49回出た数字です。25回に1回の割合で、エッジは44%、ケリー基準の賭け金は1.26%になります。しかし、公正なダブルゼロのホイールには38個の数字があり、そのうち最も多く出た数字が1,225スピンで49回以上に達することは、約9回に1回あります。どの記録でも、最も多く出た数字は、運に最も助けられた数字でもあります。そのため、本当に偏りのあるポケットでさえ、記録の上では実際よりよく見えます。これが勝者の呪いです。そのポケットが実は偏っていないなら、ケリー基準の賭け金は、単に平均で5.26%を失うベットになります。よくある対処は、ケリー基準の何分の一かだけを賭けることと、新しい記録でもエッジが残ると確かめられるまで数え続けることです（「ホイールの偏りの検出方法」を参照）。

エッジを持つ人たち

エッジを知っていることと、それをうまく使うことは別です。ハガニ（Haghani）とデューイ（Dewey）は2016年、61人に$25ずつ渡し、60%の確率で表が出ると知らされたコインに30分間賭けてもらいました。勝ち金の上限は$250でした（上限は、そこに達したときに初めて知らされました）。ケリー基準によれば、毎回バンクロールの20%を表に賭けるのが正解で、著者らの推定では、10〜20%を安定して賭ければ約95%の確率で上限に届きます。実際に届いたのは21%だけでした。28%は破産し、61人中18人は1回のトスにすべてを賭け、約3分の1は最初の$25を下回って終わり、平均の配当お金配当当たったベットに支払われるもの。返却される賭け金とは別に「X対1」の形で表す。全文を読む →は$91でした。61人のうち、ケリー基準を聞いたことがあったのは5人だけでした。エッジがあれば、それを保てるかどうかは賭け金の大きさで決まります。公正なホイールのようにエッジがなければ、どんな賭け金の大きさも役に立ちません。

代わりに使うもの

エッジがないなら、賭け金は成長の問題ではなく予算の問題です。賭け金は、1スピンあたりに使ってもよい金額で、1時間の予算とテーブルのペースから導きます（バンクロール管理のページを参照）。一般のプレイヤーにとってのケリー基準の貢献は、答えが明快なことです。ゼロです。ゼロを超えて賭けた分はすべてプレイの代金で、あなたが選んだものであり、どんな式でも最適化されたものではありません。

分数ケリーと「マネーマネジメント」について

「ルーレットのためのケリー」として売られているシステムで、1ベットごとにバンクロールの一定の割合を勧めるものは、賭け金が縮んでいくフラットベット戦略フラットベット毎スピン同じ金額を賭けること。あらゆるプログレッションの比較基準。全文を読む →です。総賭け金お金総賭け金セッションまたは一定期間に賭けた総額。再び賭けた勝ち金も含む。別名：ハンドル、アクション。全文を読む →の2.70%を失い、負けるにつれて賭け金が縮むため、破産は起こりにくくなるのではなく、ゆっくりになるだけです。予算を長持ちさせる方法としては妥当ですが、ケリー基準ではありません。ケリー基準なら、やめるように言うはずです。

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よくある質問