破産確率

問い

バンクロールお金バンクロールプレイ用に取り分けた資金の総額。バンクロール管理とは、そのうちどれだけを1ベットごと、1セッションごとにリスクにさらすかを決めること。全文を読む →がaユニットお金ユニットシステムやプレイヤーが基準にする基本の賭け金。プログレッションはユニットで記述されるので、どのテーブルにも当てはまる。全文を読む →あり、a + bユニットに到達したいとします。当たる確率数学確率ある結果の起こりやすさ。0から1、または0%から100%で表す。単一の数字の場合：1/37 = 2.70%。全文を読む →p = 18/37、外れる確率q = 19/37のイーブンマネーベットベットイーブンマネーベット赤／黒、奇数／偶数、ハイ／ロー。18個の数字、配当は1:1。全文を読む →に、1ユニットずつ賭けます。ゼロになる前に目標に届く確率はいくつでしょうか。答えは、1650年代にパスカル、フェルマー、ホイヘンスによって導かれ、確率論で最も古い結果の1つです。

ブレーズ・パスカル

ギャンブラーの破産の公式

P(目標到達) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)。破産確率数学破産確率目標額または所定のスピン数に達する前に、バンクロールをすべて失う確率。全文を読む →は、1からそれを引いたものです。q/p = 19/18 ≈ 1.0556なので、この比はユニット数に対して指数的に大きくなり、公式は小さなユニットに厳しく当たります。目標に届くまでのベットが多いほど、その途中で2.70%の通行料を払う回数も増えるからです。

公式の読み方

ユニットが小さいほど不利です。$500を$10ずつのベットで2倍にしようとすると、成功するのは6%です。$500を1回で賭けるなら、48.6%で成功します。ボールドプレイ、つまり少ない回数で大きく賭ける方法は、期待値がマイナスのゲームで目標に届く確率を最大にします。エッジが働く回数が最小になるからです。同時に、結果の分散数学分散結果が期待値のまわりにどれだけ広く散らばるかを示す尺度。ストレートアップでは高く、イーブンマネーベットでは低い。全文を読む →も最大になり、その夜はあっという間に終わります。この定理は「ボールドプレイが最適」と呼ばれ、1965年にデュビンズとサベージ（Dubins and Savage）によって証明されました。

問題の始まり

この問いはルーレットより古いものです。1656年、パスカルはフェルマーに1つの問題を出しました。2人のプレイヤーが3個のサイコロを振り、それぞれ12枚のチップを持って始めます。11が出ればチップが一方へ1枚動き、14が出ればもう一方へ動きます。2人ともこれを解き、数学者ピエール・ド・カルカヴィ（Pierre de Carcavi）の手紙でこの問題を知ったホイヘンスは、1657年、確率についての最初の本の第5問として、証明なしで答えとともに出版しました。11の出方は27通り、14の出方は15通りしかないので、チップが動くたびに14回中9回は最初のプレイヤーの側へ動きます。それぞれ12枚のチップで上の公式を使うと、最初のプレイヤーがすべてを取る可能性は、すべてを失う可能性の約1,157倍になります。2.70%のエッジははるかに小さいものですが、同じ公式で、多くのベットを重ねたときにそれが何をもたらすかがわかります。

本物のボールドベット

2004年4月、イギリスの若者アシュリー・レヴェル（Ashley Revell）は、服まで含めて持ち物をほぼすべて売り、$135,300をラスベガスのプラザに持ち込みました。いくつか小さく賭けたあと、彼は全額を赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →に1回だけ賭けました。ボール用具ボールローターと逆向きにトラックへ投げ入れられる小さなボール。現代のボールはアイボリン製またはテフロン製で、18〜21mm。全文を読む →は赤の7に止まり、彼は$270,600を手にして帰りました。ダブルゼロホイールゼロイーブンマネーベット、ダズン、コラムのどれもカバーしない唯一の緑のポケット。ハウスエッジの源。別名：シングルゼロ、0。全文を読む →のホイールでは、その1スピンで当たる確率は47.37%で、1回のベットにかかる5.26%のエッジにより、平均で$7,121のコストがかかっていました。同じ目標を$10ずつのベットで目指していたら、ほぼ望みはなかったでしょう。ボールドプレイはベットをよいものにはしません。できるだけ短く済ませるだけです。

目標がない場合の破産確率

破産するまで、またはNスピン後にやめるまで単純にプレイするなら、問いは「Nスピンのうちにバンクロールがゼロに触れる確率はいくつか」になります。一般のNに対する閉じた式はありませんが、このサイトのシミュレーターが計算します。バンクロール$500で赤に$10ずつ賭けると、100スピンではほとんど破産せず（1%未満）、500スピンでは約9%、5,000スピンでは約95%の確率で破産します。やめる基準がなければ、確率は100%に近づきます。これはハウスエッジ数学ハウスエッジ各賭け金のうちカジノが平均して手元に残す割合。ヨーロピアンルーレットでは2.70%。全文を読む →の長期的な姿です。

長期的な収束

どれだけ続き、どこまで勝ち越せるか

古典的な結果があと2つあり、プレイヤーが実際に抱く疑問に答えてくれます。目標を決めずにイーブンマネーへ一定額を賭け続けると、バンクロール1ユニットあたり、ヨーロピアンのホイールでは平均37スピン、アメリカンでは19スピン持ちます。1スピンごとに平均で1ユニットの1/37（アメリカンのホイールでは1/19）が失われるからです。100ユニットなら平均3,700スピン持ちますが、そうしたセッションの半分は3,134スピン以内に終わります（「セッションの長さとコスト」を参照）。そして、バンクロールがどれほど大きくても、いつかkユニット勝ち越す確率は(18/19)ᵏです。1ユニットなら95%、10ユニットなら58%ですが、どんなに深いバンクロールでも、いつか13ユニット勝ち越す確率が五分五分に届くことはありません。アメリカンのホイールでは、この確率は(9/10)ᵏで、7ユニットで半分を下回ります。

セッションの長さとコストアメリカンルーレット

五分五分の確率に必要なバンクロール

問いを逆にしてみます。すべてを失う前に一定の額を勝つ確率を、少なくとも五分五分にするには、いくら持っていけばよいでしょうか。小さな勝ちなら、多くは要りません。勝ちを大きくすると必要なバンクロールは急に増え、ある点を超えると、どんなバンクロールでも足りなくなります。限りのないバンクロールでさえ、そこまで勝ち越せる確率が五分五分に届かないからです。テイラー（Taylor、2021年）は別の言い方をしています。アメリカンのホイールで100ユニットに届く確率を五分五分にするには、94ユニットから始める必要があります。6を勝つために94を危険にさらすわけです。ヨーロピアンのホイールなら88が必要です。

実践的な教訓

何をしたいのかを決めてください。目標が特定の勝ちなら、大きく、少ない回数で賭けます。目標が長い夜なら、小さく賭け、大きな総賭け金お金総賭け金セッションまたは一定期間に賭けた総額。再び賭けた勝ち金も含む。別名：ハンドル、アクション。全文を読む →に対してエッジが2.70%を取っていくことを受け入れます。両方を望むなら、何かを諦めることになり、たいていは目標のほうです。

数式

よくある質問