問題：誕生日のホイール
何スピンで、どれかの数字が重なるでしょうか。ほとんどの人が思うよりも、ずっと少ない回数です。
37個のポケット用具ポケットローター上にある、番号の付いた37個の区画のそれぞれ。別名：スロット、カップ。全文を読む →があるホイールでの誕生日問題です。わずか8スピンで、どれかの数字がすでに2回出ている確率が、半分を超えます。プレイヤーは重なりをパターンと受け取りますが、公正なホイールでは当然起こる現象です。
問題
公正なヨーロピアンのホイールを回します。少なくとも2回のスピンで同じ数字が出た確率数学確率ある結果の起こりやすさ。0から1、または0%から100%で表す。単一の数字の場合：1/37 = 2.70%。全文を読む →が2分の1を超えるのは、何スピン目でしょうか。多くのプレイヤーは、37の半分の18か19あたりと答えます。答えは8です。
解答
重なりが1つもない確率を求め、1から引きます。kスピン後に、すべて異なる確率は p = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37) です。k = 8では、1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44となり、どこかで重なる確率は約0.56です。k = 14では0.93、k = 20では0.996になります。直感が外れるのは、スピンの組の数がk²のように増え、どの組も一致しうるからです。
テーブルで重要な理由
直近20個の数字を示す結果ボードには、ほぼ必ず少なくとも1組の重なりがあり、2組や3組あることも珍しくありません。プレイヤーは「10スピンで17が2回出た」と見て、17がホットだと結論づけます。誕生日問題の計算では、10スピン以内に重なりが出る確率は74%で、重なる数字はランダムです。パターンは実際にありますが、意味はありません。
続きの問題
特定の数字、たとえば17が2回出るまでに、何スピンかかるでしょうか。これは別の問いで、答えははるかに大きくなります。待ち時間の期待値は74スピンで、20スピン以内に17が2回出る確率は約10%です。「どれかの数字が重なる」（8スピン）と「この数字が重なる」（74スピン）の違いは、あとから気づくパターンと、前もって行う予測との違いそのものです。
試してみる
デモゲームを10スピン回して、履歴を見てください。たいていは重なりがあります。もう一度回してください。重なる数字は違うはずです。これを10回繰り返せば誕生日問題数学誕生日問題何人集まれば2人の誕生日が一致する可能性が高くなるか、あるいは何スピンで数字の繰り返しが起こる可能性が高くなるかという問題。37ポケットのホイールでは、8スピンで確率が半分を超える全文を読む →を目にしたことになり、1,000回繰り返せば（シミュレーターならできます）、それを測定したことになります。
数式
よくある質問
まったく同じで、365日の代わりにポケットが37個あります。誕生日では23人で50%、ホイールでは8スピンで56%になります。
約19スピンで50%です。それでもごくありふれたことです。
いいえ。1つのホイールの数千スピンなら示唆しますが、重なり1回では決して示唆しません。
数学で頭の体操
まずは自分で解いてみてください。解答は折りたたんであるので、準備ができたら開いてください。
アメリカンのホイールの横の結果ボードに、直近16スピンが表示されています。そこにどの数字も2回現れない確率はどのくらいですか？
解答を見る
答え 約2.5%です。ボード40枚のうちおよそ39枚には、少なくとも1つの繰り返しがあります。
1スピンずつ考えます。最初のスピンは何でもかまいません。2回目はそれを避けなければならず、38分の37です。3回目は2つを避けなければならず、38分の36です。16回目は15個の数字を避けなければならず、38分の23です。
掛け合わせると、38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246です。
珍しいのは繰り返しのないボードのほうです。繰り返しのあるボードは、ホイールについて何も語りません。
ヨーロピアンのホイールで10スピンするとき、17がちょうど5回出る確率はどのくらいですか？どれでもいいので、ある数字が5回以上出る確率は？そして4スピンのうちに、ある数字が3回以上出る確率は？
解答を見る
答え 17がちょうど5回：315,576分の1。ある数字が5回以上：約8,333分の1。4スピンである数字が3回以上：349分の1。
17が5回：10スピンのうちどの5回かの選び方が252通りあり、それぞれの確率は(1/37)⁵ × (36/37)⁵です。合わせて315,576分の1です。
ある数字：37個の数字はそれぞれ308,325分の1の確率で5回以上出るので、308,325分の37、つまり8,333分の1になります。2つの数字がそれぞれ5回出るというまれなケースは二重に数えられていますが、それを除いてもこの精度では何も変わりません。
4スピンで3回：1つの数字について、37⁴通りの結果のうち4 × 36 + 1 = 145通りです。37個の数字のどれかなら、145/37³ = 349分の1です。
Wizard of Oddsは、これらの問題のダブルゼロホイールゼロイーブンマネーベット、ダズン、コラムのどれもカバーしない唯一の緑のポケット。ハウスエッジの源。別名：シングルゼロ、0。全文を読む →版に答えています。そのホイールについてのこちらの数字は、359,275分の1、9,243分の1、368分の1です。「17」と「ある数字」の差は、ここでもまた誕生日問題数学誕生日問題何人集まれば2人の誕生日が一致する可能性が高くなるか、あるいは何スピンで数字の繰り返しが起こる可能性が高くなるかという問題。37ポケットのホイールでは、8スピンで確率が半分を超える全文を読む →です。驚く方法が37通りあるのです。
ひと息コミック
何かが早くも重なります。その何かは、ランダムです。
出典
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.