珍しいホイール
18、25、26、31、40、49、62、73、105個のポケットを持つホイール。そのほぼすべてに、1つのルールで値段がつきます。配当が無視しているポケットの割合です。
カジノ側のポケットが存在しないかのように配当を設定すると、ハウスエッジ数学ハウスエッジ各賭け金のうちカジノが平均して手元に残す割合。ヨーロピアンルーレットでは2.70%。全文を読む →はホイールの大きさにかかわらず、カジノ側のポケット数を全ポケット数で割った値になります。珍しいホイールの多くはこのルールに従います。興味深いのはそれを破るものです。丸められた配当、ボーナスラウンド、数スピンにわたって置かれたままになるベットなどです。
どのホイールにも1つのルール
ヨーロピアンルーレットバリエーションヨーロピアンルーレットシングルゼロのホイール、37個のポケット、ハウスエッジ2.70%。このサイトの基準モデル。全文を読む →は、ホイールに36個のポケット用具ポケットローター上にある、番号の付いた37個の区画のそれぞれ。別名：スロット、カップ。全文を読む →しかないかのように35対1を支払います。実際には37個あり、足りない1個が2.70%のハウスエッジです。同じルールはどのホイールでも成り立ちます。N個の数字とZ個のカジノ側のポケットがあるとき、n個の数字に賭けて(N − n)/n対1を支払うベットのハウスエッジはZ/(N + Z)です。このルールに基づいて、あらゆる大きさのホイールが作られたり提案されたりしてきました。表では、それらを値段の順に並べています。
大きいほうが安いこともある
プレイヤーは62個のポケットのホイールを、より当たりにくく、より不利なゲームだと受け取ります。ハウスエッジを決めるのは、カジノ側のポケットの割合だけです。Super 62にはアメリカンのホイールと同じく2つのゼロホイールゼロイーブンマネーベット、ダズン、コラムのどれもカバーしない唯一の緑のポケット。ハウスエッジの源。別名：シングルゼロ、0。全文を読む →がありますが、38個中2個ではなく62個中2個なので、コストは5.26%に対して3.23%です。72個の数字と1つのゼロを持つRoulette 73なら、コストは1.37%で、フレンチのイーブンマネーとほぼ同じです。小さなホイールでは、このルールは逆向きに働きます。ボルマンは、1〜16に0と00を加えた18個のポケットを持つアンティークのホイールを描いています。ルールに従えば、どのベットもコストは2/18、11.11%になります。カジノ側の2個のポケットは、小さなホイールでは大きな割合を占めるのです。
ルールが破れるところ：丸め
配当お金配当当たったベットに支払われるもの。返却される賭け金とは別に「X対1」の形で表す。全文を読む →は扱いやすいチップお金チップ決まった金額を表すトークン。レイアウトに置いてベットする。別名：チェック（cheque）。全文を読む →の額でなければならず、ルールが端数を出すと、カジノは切り捨てます。100 To 1 RouletteのAvenueベットは15個のポケットをカバーし、本来は5⅔対1を支払うはずですが、11対2しか支払わないため、ハウスエッジは4.76%から7.14%に上がります。Super 62では、6という数字を含む数が7つあり（6、16、26、36、46、56、60）、その数字へのベットは7対1を支払います。そのためハウスエッジは9.68%で、レイアウト用具レイアウトテーブルに印刷された、ベットを置くためのグリッド。別名：テーブル、フェルト、クロス。全文を読む →のほかの部分の3倍です。Riverboat Rouletteのホワイトのベットは8個の数字を7対2でカバーします。50セントのチップがないテーブルでは、$5の当たりに$17.50ではなく$17が支払われ、ハウスエッジは5.26%から7.37%に上がります。7.89%のアメリカンの5つの数字のベットは、同じことのおなじみの例です。
ルールが破れるところ：ボーナス
2020年にマリーナベイ・サンズで始まったFast Action Rouletteは、4つのゼロを持つ実物のホイールを使い、それだけならコストは10%になります。毎スピン、10個のボーナスの数字がランダムに点灯します。ストレートアップベットストレートアップ単一の数字。配当は35:1。全文を読む →は35対1、その数字がボーナスの数字なら40対1、4つの数字の列全体がボーナスなら80対1を支払い、これでハウスエッジは6.65%になります。このゲームのほかの3つのベットは、はるかに高くつきます。IGTのDouble Bonus Spinは、アメリカンのホイールに幅1.5ポケット分の黄色いボーナスポケットを加えます。ボール用具ボールローターと逆向きにトラックへ投げ入れられる小さなボール。現代のボールはアイボリン製またはテフロン製で、18〜21mm。全文を読む →がそこに止まると、すべてのベットに2回のフリースピンがつきます。私たちの計算では、これでハウスエッジは1.94%（ストレートアップ）から2.73%（イーブンマネー）のあいだまで下がり、通常のアメリカンのホイールより低くなります。ボルマン（Bollman、2021年）はこのゲームについて3%〜16%と記していますが、その簡略化した式には代数の誤りがあり、イーブンマネーベットベットイーブンマネーベット赤／黒、奇数／偶数、ハイ／ロー。18個の数字、配当は1:1。全文を読む →（配当1対1のベット）ではフリースピンが賭け金以上を失うことになってしまいます。そんなことはありえません。
ルールが破れるところ：置かれたままのベット
Riverboat Roulette（2012年）は、アメリカンのホイールの32個の数字に2つ目の色をつけました。ホワイトは各ゼロの周りの4つのポケット（1、2、9、10、13、14、27、28）です。色のグループへのベットは、8つのホワイトの数字のどれかより先にそのグループの数字が出れば当たります。ホワイトの数字は「White Out」で、すべての色のベットが外れます。それ以外の数字はすべて引き分けで、ベットは置かれたままになり、スピンの合間に引き揚げたり増やしたりできます。ティールは3つの数字をカバーし、2対1を支払います。決着したベットあたりでは賭け金の2/11、18.18%を失います。1スピンあたりではおなじみの2/38、5.26%を失います。ベットは平均38/11、約3.5スピンのあいだ置かれたままだからです。
ソープが予測できたホイール：ビッグシックス
ビッグシックス（Big Six）、別名ホイール・オブ・フォーチュンは、54個のスロットを持つ大きな縦型のホイールです。24個が1対1、15個が2対1、7個が5対1、4個が10対1、2個が20対1を支払い、2個のロゴのスロットは40対1を支払います。ゼロはなく、カジノ側は配当を少なくすることで取り分を得ており、ハウスエッジは1対1のスロットの11.1%からロゴの24.1%までです。1961年、エドワード・ソープ（Edward Thorp）はこのホイール用にマッチ箱ほどの大きさの予測装置を作り、つま先のスイッチで操作しました。1981年には、カジノのホイールの1回転を腕時計で計り、たいてい止まる位置を5スロット以内で言い当てられることに気づきました。ホイールが回った後にベットを受け付けてもらえるなら、予測位置の近くにある配当の高いスロットだけに賭けて約+211%のリターンになったはずです。実際には受け付けられません。しかもホイールはゆっくり、衆人環視の中で回るので、遅れたベットは一目で分かります。ソープは、このゲームにはそれを隠せるほどのアクションがないと書いています。
定着するものが少ない理由
業務用のホイールは数千ドルし、珍しい数のポケットを持つホイールは特注しなければなりません。そのため、新しいルーレットゲームのほとんどは標準的なホイールをそのまま使い、ベットを加えます。サイドベットのページがこのページより長いのはそのためです。19世紀アメリカの31ポケットの鷲のホイールは、1つの数字で12.90%、ほかのすべてで9.68%というコストのせいで消えていきました。3つ目のカジノ側のポケットという発想は、2016年に39ポケットのホイールで復活し、そこではコストが7.69%です。
よくある質問
それだけでは決まりません。ハウスエッジはカジノ側のポケットの割合です。73分の1は37分の1より安くなります。
1.37%のRoulette 73ですが、これは公表された設計で、実際に見つかるテーブルではありません。プレイヤーに提供されたことのあるホイールの中では、ヨーロピアンとフレンチの次に3.23%のSuper 62が続きます。
ボーナスには財源が必要で、通常は基本の配当の引き下げか、ハウスエッジの高い別のベットで賄われます。
数学で頭の体操
まずは自分で解いてみてください。解答は折りたたんであるので、準備ができたら開いてください。
オーストラリアで開発されたRoyal Rouletteには、50個のポケット用具ポケットローター上にある、番号の付いた37個の区画のそれぞれ。別名：スロット、カップ。全文を読む →があります。2からキングまでの48枚のカードに、エース1枚とジョーカー1枚を加えたものです。1枚のカードは47対1、2枚は23対1、3枚は15対1、4枚は11対1、6枚は7対1、8枚は5対1、12枚は3対1、16枚は2対1、24枚は1対1を支払います。これらの配当お金配当当たったベットに支払われるもの。返却される賭け金とは別に「X対1」の形で表す。全文を読む →を生むルールは何で、どのベットのコストはいくらですか？
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答え n枚のカードへのベットは(48 − n)/n対1を支払うので、どのベットもコストは2/50 = 4%です。
いくつかのベットでルールを試します。47/1 = 47、36/12 = 3、32/16 = 2、24/24 = 1。9つすべてに当てはまります。このルールはホイールに48個のポケットしかないものとして値段をつけているので、エースとジョーカーが2つのカジノ側のポケットです。アメリカンのホイールの0と00とまったく同じです。
50個中2個のカジノ側のポケットで、ハウスエッジは4%です。「ヨーロピアン」版はジョーカーを除いて配当はそのままなので、49個中1個のカジノ側のポケットで、ハウスエッジは2.04%です。
Super 62には、選んだ数字（0〜9の1桁）が当たり番号に含まれることに賭けるベットがあります。同じベットを通常のアメリカンのホイール向けに設計してください。1〜36の数のうち、それぞれの数字を含むものはいくつあり、どんな配当ならいつもの5.26%を保てますか？
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答え きれいな配当になるのは、含む数が3つか4つの数字だけです（11対1と8対1）。1、2、3の数字は、整数枚のチップお金チップ決まった金額を表すトークン。レイアウトに置いてベットする。別名：チェック（cheque）。全文を読む →では公正に支払えません。
数を数えます。数字1が現れるのは1、10〜19、21、31で、13個です。数字2も13個、数字3は10個です。数字4、5、6はそれぞれ4個（4、14、24、34）、7、8、9はそれぞれ3個です。
n個の数へのベットは、(36 − n)/n対1を支払えばアメリカンのハウスエッジを保てます。4個なら8対1、3個なら11対1で、どちらも整数です。13個なら23/13、約1.77対1、10個なら2.6対1です。1.77を7対4に切り下げるとコストは5.92%、2対1に切り上げるとプレイヤーが2.63%有利になります。2.6を5対2に切り下げると7.89%です。
数字0は選び方次第です。10、20、30だけなら11対1で5.26%、0と00を加えれば5つの数へのベットになり、バスケットベットバスケットシングルゼロのホイールでは、0、1、2、3にチップ1枚で賭けるベット。配当は8:1。別名：ファーストフォー、カトル・プルミエ（quatre premiers）。全文を読む →と同じく6対1で7.89%です。
数字含む数ルール上の配当可能な配当ハウスエッジ1, 2131.77:17:45.92%3102.6:15:27.89%4, 5, 648:18:15.26%7, 8, 9311:111:15.26%100 To 1 Rouletteは、100個の数字と5つのカジノ側のシンボルを持つホイールで、ほとんどのベットに(100 − n)/n対1を支払います。ベットは1、2、3、4、5、10、15、20、50個のポケットをカバーし、配当は100、49、32、24、19、9、11対2、4、1対1です。ストレートアップベットストレートアップ単一の数字。配当は35:1。全文を読む →と15ポケットのAvenueはルールを破っています。ほかにルールを破っているベットはどれで、そのコストはいくらですか？
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答え 3つのポケットへのベットです。ルールでは32⅓対1のはずが32対1しか支払わず、コストは4.76%ではなく5.71%です。
各配当をルールと照らし合わせます。98/2 = 49、96/4 = 24、95/5 = 19、90/10 = 9、80/20 = 4、50/50 = 1はすべて当てはまります。3つのポケットについては、ルールは97/3 = 32⅓となり、これはどのチップでも支払えないので、32に切り下げられています。
このベットは105スピンで3回当たり、そのとき賭け金込みで33ユニットお金ユニットシステムやプレイヤーが基準にする基本の賭け金。プログレッションはユニットで記述されるので、どのテーブルにも当てはまる。全文を読む →を返します。105ユニット賭けるごとに3 × 33 = 99ユニットが戻り、損失は6/105 = 5.71%です。
公表された設計のRoulette 73には、72個の数字と1つのゼロホイールゼロイーブンマネーベット、ダズン、コラムのどれもカバーしない唯一の緑のポケット。ハウスエッジの源。別名：シングルゼロ、0。全文を読む →があり、どのベットも(72 − n)/n対1を支払います。24個のグレーの数字は、チップ14枚でカバーできます。ストレートアップ4つとスプリットベットスプリット隣り合う2個の数字。配当は17:1。全文を読む →10個です。この14枚のベットのコストはいくらですか？
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答え 14枚の1.37%で、そのホイールのほかのどのベットとも同じです。
長い方法：ストレートアップは71対1、スプリットは35対1を支払います。ストレートアップの4つの数字のどれかが出れば、71を得てほかの13枚を失うので+58です。スプリットの20個の数字のどれかが出れば、+35 − 13 = +22です。ほかの49個のポケットでは14枚すべてを失います。73スピンの平均では、4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14ユニットで、チップ1枚あたり1/73です。
短い方法：期待値数学期待値長期的に見た、ベットあたりの平均結果。ヨーロピアンルーレットの標準的なベットはどれも、賭け金に対して−1/37。全文を読む →は足し合わせられます。チップ1枚1枚が自分の1/73を失う通常のベットなので、14枚なら14/73を失います。ベットを組み合わせても変わるのは結果の散らばり方で、コストは決して変わりません。
Super 62には60個の数字と0、00があり、(60 − n)/n対1を支払います。設計者は、カジノ側のポケットが1つ、3つ、4つの版も描いています。Alphabetic Rouletteは25個のポケットで(24 − n)/n対1を支払い、YとZがそれぞれ別のポケットを持つ変種もあります。5つすべての値段を求めてください。
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答え ゼロが1〜4個なら1.64%、3.23%、4.76%、6.25%です。YとZが別のAlphabeticは7.69%です。
どれも配当はそのままで、カジノ側のポケットの数だけが変わるので、ハウスエッジはカジノ側のポケット数 ÷ 全ポケット数です。
ゼロ1つ、61ポケット：1/61 = 1.64%。2つ、62ポケット：2/62 = 3.23%。3つ、63ポケット：3/63 = 4.76%。4つ、64ポケット：4/64 = 6.25%。ゼロを1つ加えるごとに約1.5ポイント高くなります。
Alphabeticは24文字あるかのように支払います。YとZが1つのポケットを共有すれば、カジノ側は25分の1、4%です。YとZが別々なら26分の2、7.69%で、トリプルゼロのホイールと同じです。1つのポケットを2つに分けただけで、値段はほぼ2倍になりました。
ホイールポケット数カジノ側のポケットハウスエッジ60個の数字、ゼロ1つ6111.64%Super 626223.23%60個の数字、ゼロ3つ6334.76%Super 646446.25%Alphabetic2514.00%Alphabetic、YとZが別2627.69%アンティークのホイールに18個のポケットがあります。1〜16、0、00です。奇数と0は赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →、偶数と00は黒ベット黒18個の黒の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ノワール（noir）。全文を読む →で、16個の数字は4行4列のレイアウト用具レイアウトテーブルに印刷された、ベットを置くためのグリッド。別名：テーブル、フェルト、クロス。全文を読む →に並んでいます。どのベットにも同じハウスエッジを与える配当表お金配当表各ベットや各結果の配当を並べた表。マシンやサイドベットでは、ここでハウスエッジが決まる全文を読む →を作ってください。また、0は赤なのに、赤へのベットでは負けにしなければならないのはなぜですか？
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答え (16 − n)/n対1を支払います。1つの数字に15対1、2つに7対1、4つに3対1、8つに1対1です。どのベットもコストは11.11%です。0が赤へのベットで当たりになれば、赤は公正なベットになってしまいます。
0と00がないものとしてホイールに値段をつけます。n個の数字へのベットは18回にn回当たり、(16 − n)/n対1を支払うので、18賭けるごとに賭け金込みで16ユニットが戻ります。どのベットもコストは2/18、11.11%です。
レイアウトの自然なベットは割り切れます。1つの数字は15対1、隣り合う2つは7対1、4つの数字の行またはコラムベットコラムレイアウトの縦の列に並ぶ12個の数字。配当は2:1。全文を読む →は3対1、2行、あるいは奇数、偶数、ロー、ハイの8つは1対1です。3つの数字へのベットには4⅓対1が必要で、4対1に切り捨てるとコストは16.67%です。
赤は8つの奇数をカバーします。0が赤だからといって赤へのベットでも当たりになれば、赤は18個のポケットのうち9個を1対1でカバーすることになり、ハウスエッジのまったくない公正なゲーム数学公正なゲームどちらの側にも有利さがないゲーム。どのベットも期待値がゼロ全文を読む →になります。カジノ側のポケットがハウスエッジを稼げるのは、自分自身へのベット以外のすべてのベットを負けにするからです。
ひと息コミック
カジノ側のポケットを数え、それから丸めを探す。
出典
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”