標準偏差
分散数学分散結果が期待値のまわりにどれだけ広く散らばるかを示す尺度。ストレートアップでは高く、イーブンマネーベットでは低い。全文を読む →の平方根。結果と期待値との典型的な距離です。
賭け金$1あたりのσは、ストレートアップで5.84、赤で1.00です。セッションでは、これに賭け金とスピン数の平方根を掛けます。
目安
セッションの約3分の2は期待値から1σ以内に収まり、95%は2σ以内に収まります。$10で赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →に100スピンする場合（期待値−$27、σ = $100）、ほとんどのセッションは−$127から+$73の間に収まり、ほぼすべてが−$227から+$173の間に収まります。この範囲の外に出た結果は、20回に1回はそうなる、ということ以外には何の証拠にもなりません。
なぜ√Nなのか
期待損失数学期待損失期待値に総賭け金を掛けたもの。セッションまたは一定期間に失う平均額。全文を読む →はNに比例して増え、ばらつきは√Nに比例して増えます。Nが小さいうちは、ばらつきが支配し、セッションはわずかに偏ったコイン投げです。Nが大きくなると、損失がばらつきを追い越します。期待損失が1標準偏差数学標準偏差分散の平方根。結果が期待値から離れる典型的な幅。全文を読む →に等しくなる交差点は、N = (σ/エッジ)² = (1/0.027)² ≈ 1,370スピン（イーブンマネーの場合）、ストレートアップベットストレートアップ単一の数字。配当は35:1。全文を読む →では(5.84/0.027)² ≈ 46,800スピンです。この数より下では運が決め、この数より上ではエッジが決めます。
使い方
セッションが珍しかったかどうかを判断するには、(結果 − EV)/σを計算します。$10で赤に賭け、100スピンを+$150で終えたプレイヤーは、(150 + 27)/100 = 1.77σにあたり、25回に1回の結果です。運がよかったものの、驚くほどではありません。同じ+$150でも、ストレートアップのプレイヤーなら0.3σで、ごく普通の夜です。同じ金額の結果でも、ベットによって意味が違います。
割合の標準誤差
同じ計算で、データの中にエッジが見えるまでに何スピンかかるかがわかります。観測された当たりの割合の標準誤差は、√(p(1 − p)/N)です。赤でN = 1,000なら、√(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%です。公正なコインと赤との差は1.35%なので、1,000スピンでは、まだ自信を持って区別できません。10,000スピンなら標準誤差は0.5%になり、区別できます。ホイールの偏りの検出に非常に多くのスピンが必要なのも、同じ理由です。
歪みについての注意
ストレートアップの結果は、短いセッションでは正規分布とは大きく異なります。ほとんどのセッションは1スピンあたり−$10で着実に減り、ときどき+$350の跳ね上がりがあります。±1σの規則は、ばらつきを正しく説明しますが、Nが数百になるまでは、形をうまく表せません。イーブンマネーベットベットイーブンマネーベット赤／黒、奇数／偶数、ハイ／ロー。18個の数字、配当は1:1。全文を読む →では、正規近似は約30スピンから良好です。
数式
よくある質問
約40回のセッションをこなしたか、40回に1回の幸運に当たったという証明にはなります。繰り返してみてください。
揺れはどんどん小さくなります。平均の標準誤差はσ/√Nです。N = 10,000では、賭け金の1%です。
数学で頭の体操
まずは自分で解いてみてください。解答は折りたたんであるので、準備ができたら開いてください。
ヨーロピアンのホイールで100スピンするとき、赤ベット赤18個の赤の数字へのイーブンマネーベット。フランス語：ルージュ（rouge）。全文を読む →への1ユニットお金ユニットシステムやプレイヤーが基準にする基本の賭け金。プログレッションはユニットで記述されるので、どのテーブルにも当てはまる。全文を読む →は51回以上当たればプラスになり、ストレートアップベットストレートアップ単一の数字。配当は35:1。全文を読む →への1ユニットは、その数字が3回以上出ればプラスになります。釣鐘型の曲線を使って両方の確率を見積もり、正確な答えと比べてください。
解答を見る
答え 赤：釣鐘型の曲線では35.6%、正確な答えは35.5%です。ストレートアップ：釣鐘型の曲線では55.0%、正確な答えは50.9%です。この近道は赤ではうまくいき、単独の数字では外れます。
赤：当たりの平均は100 × 18/37 = 48.6回、ばらつきは√(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0です。プラスになるのは51回以上で、その境目の50.5は平均よりばらつきの0.37倍だけ上にあり、釣鐘型の曲線ではそれより上に35.6%が入ります。51回、52回…100回の正確な確率を足すと35.5%です。
ストレートアップ：当たりの平均は100/37 = 2.70回、ばらつきは√(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62です。3回以上の当たりとは2.5を超えることで、これは平均よりばらつきの0.12倍だけ下なので、釣鐘型の曲線では55.0%です。正確には、1から0回、1回、2回の確率6.5% + 17.9% + 24.7%を引いて、50.9%が残ります。
釣鐘型の曲線が使えるのは、平均の両側に十分な数の結果があるときです。赤は100スピンでそれを満たしますが、平均で3回も出ない数字は満たしません。曲線は「まったく出ない」に8.7%を割り当てますが、本当の確率は6.5%です。テイラー（2021年）も、同じように二項分布と釣鐘型の曲線を並べて示しています。
ひと息コミック
20回に1回のセッションは、2シグマの外にあります。誰かが、いつも裾にいます。
出典
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.